Question

【題目】點與定點的距離和它到直線的距離的比是常數，設點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點的直線與曲線交于，兩點，設的中點為，，兩點為曲線上關于原點對稱的兩點，且（），求四邊形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）設出點的坐標，根據題意，列出方程，整理化簡即可求得動點的軌跡方程；

（2）設出直線的方程，利用弦長公式求得，再利用，建立直線與之間的聯系，再利用點到直線的距離，以及面積公式，將四邊形面積表示為函數形式，求該函數的值域即可.

（1）設動點，則到直線的距離，

由題可知：，即可得，

兩邊平方整理可得：

故曲線的方程為：.

（2）因為，故兩點不可能重合，

則直線的斜率不可能為0，

故可設直線方程為，

聯立橢圓方程，

可得，

設兩點坐標分別為，

則可得，

則

故可得，

因為，故可得四點共線，

故可得.

不妨設直線方程為，，

聯立直線與橢圓方程

可得，

設，

則，即

則，即

則點到直線的距離為：

將代入上式即可得：

，，

故

又根據弦長公式可得：

故四邊形面積

，

因為，則，，

故.

故四邊形面積的取值范圍為.