Question

已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．
(Ⅰ)求的表達(dá)式；
(Ⅱ)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．

Answer 1

（1）；（2）答案見詳解

解析試題分析：（1）此類問題的常規(guī)做法就是利用其奇偶性得出關(guān)系式，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，， 代入得表達(dá)式；（2）定義法證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)，則，變形（分解因式或配方等）判斷符號，確定單調(diào)性.奇函數(shù)對稱點(diǎn)兩邊單調(diào)性相同.
試題解析： (Ⅰ) ∵是奇函數(shù)，∴對定義域內(nèi)任意的，都有       1分
令得，，即
∴當(dāng)時(shí)，                         3分
又當(dāng)時(shí)，，此時(shí)       5分
故                               7分
(Ⅱ) 解：函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，下面給予證明．         8分
設(shè)，則    10分
∵,∴，即    13分
故函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．                   14分
考點(diǎn)：1、函數(shù)奇偶性；2、分段函數(shù)單調(diào)性.