Question

【題目】已知橢圓，點在橢圓上，過點作斜率為的直線恰好與橢圓有且僅有一個公共點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設點為橢圓的長軸上的一個動點，過點作斜率為的直線交橢圓于不同的兩點，，是否存在常數，使成等差數列？若存在，求出的值：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在滿足條件的常數，.

【解析】

（1）由點在橢圓上，可求出，聯立直線與橢圓方程，根據直線與橢圓只有一個交點可得，從而可求出 的值，進而可求橢圓的方程.

（2）設直線與橢圓的交點，，寫出過點斜率為的直線方程為，與橢圓方程聯立，可得，，， ，當成等差數列時，，即，整理得，從而可求出 的值.

（1）解：因為點在橢圓上，所以，解得，橢圓方程為，

過點作的斜率為的直線方程為，與橢圓方程進行聯立，即

，整理得，，因為直線和橢圓有一個交點，

此時 ，解得，所以的方程為.

（2）設直線與橢圓的交點，，

則過點斜率為的直線方程為，與橢圓方程進行聯立得

，整理得，，由韋達定理知，

，，， ，

當成等差數列時，，即

，整理得

，則

整理得，，解得或（舍去）

所以當時，成等差數列.