Question

12．根據下列條件，求圓的方程：
（1）圓心在直線y=-4x上，且與直線l：x+y-1=0相切與點P（3，-2）；
（2）已知圓和y軸相切，圓心在直線x-3y=0上，且被直線y=x解得弦長為$2\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 （1）設出圓心坐標，利用直線與圓相切，求出x的值，然后求出半徑，即可得到圓的方程；
（2）由圓心在直線x-3y=0上，設出圓心坐標，再根據圓與y軸相切，得到圓心到y軸的距離即圓心橫坐標的絕對值等于圓的半徑，表示出半徑r，然后過圓心作出弦的垂線，根據垂徑定理得到垂足為弦的中點，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線y=x的距離d，由弦長的一半，圓的半徑r及表示出的d利用勾股定理列出關于t的方程，求出方程的解得到t的值，從而得到圓心坐標和半徑，根據圓心和半徑寫出圓的方程即可．

解答 解：（1）設圓心O為（x，-4x），k_op=$\frac{2-4x}{x-3}$
k_L=-1 又相切，∴k_op•k_L=-1，∴x=1，
∴O（1，-4），r=$\sqrt{（1-3）^{2}+（-4+2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$
所以所求圓方程為（x-1）²+（y+4）²=8；
（2）設圓心為（3t，t），半徑為r=|3t|，
則圓心到直線y=x的距離d=$\frac{|3t-t|}{\sqrt{2}}$=|$\sqrt{2}$t|，
由勾股定理及垂徑定理得：（$\sqrt{7}$）²=r²-d²，即9t²-2t²=7，
解得：t=±1，
∴圓心坐標為（3，1），半徑為3；圓心坐標為（-3，-1），半徑為3，
則（x-3）²+（y-1）²=9或（x+3）²+（y+1）²=9．

點評 本題是中檔題，考查圓的方程的求法，直線與圓的位置關系，考查了垂徑定理，勾股定理及點到直線的距離公式，考查計算能力．