Question

已知函數，g（x）=lnx．
（Ⅰ）如果函數y=f（x）在[1，+∞）上是單調增函數，求a的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實數a＞0，使得方程在區間內有且只有兩個不相等的實數根？若存在，請求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于函數的解析式中含有參數a，故我們要對a進行分類討論，注意到a出現在二次項系數的位置，故可以分a＞0，a=0，a＜0三種情況，最后將三種情況得到的結論綜合即可得到答案．
（2）方程整理為ax²+（1-2a）x-lnx=0構造函數H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（x＞0），則原方程在區間內有且只有兩個不相等的實數根即為函數H（x）在區間（）內有且只有兩個零點，根據函數零點存在定理，結合函數的單調性，構造不等式組，解不等式組即可得到結論．
解答：解：（Ⅰ）當a=0時，f（x）=2x在[1，+∞）上是單調增函數，符合題意．
當a＞0時，y=f（x）的對稱軸方程為，
由于y=f（x）在[1，+∞）上是單調增函數，
所以，解得a≤-2或a＞0，所以a＞0．
當a＜0時，不符合題意．
綜上，a的取值范圍是a≥0．
（Ⅱ）把方程整理為
，
即為方程ax²+（1-2a）x-lnx=0．
設H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（x＞0），
原方程在區間（）內有且只有兩個不相等的實數根，
即為函數H（x）在區間（）內有且只有兩個零點
=
令H′（x）=0，因為a＞0，解得x=1或（舍）
當x∈（0，1）時，H′（x）＜0，H（x）是減函數；
當x∈（1，+∞）時，H′（x）＞0，H（x）是增函數．
H（x）在（）內有且只有兩個不相等的零點，
只需
即
∴
解得，
所以a的取值范圍是（）．
點評：遇到類二次方程/函數/不等式（即解析式的二次項系數含有參數）時，一般要進行分類討論，分類的情況一般有：①先討論二次項系數a是否為0，以確定次數②再討論二次項系數a是否大于0，以確定對應函數的開口方向，③再討論△與0的關系，以確定對應方程根的個數．