Question

某隧道長6000米，最高限速為（米/秒），一個勻速行進的車隊有輛車，每輛車的車身長12米，相鄰兩車之間的距離與車速（米/秒）的平方成正比，比例系數為（），自第一輛車車頭進入隧道至第10輛車車尾離開隧道時所用時間為（秒）.

（1）求函數的解析式，并寫出定義域；

（2）求車隊通過隧道時間的最小值，并求出此時車速的大小.

Answer 1

（1），定義域為；（2）若，則當車速為（米/秒）時，車隊通過隧道時間有最小值（秒）；若，則當車速為（米/秒）時，車隊通過隧道時間有最小值（秒）.

解析:

（1）依題意得，車隊通過隧道的時間關于車隊行進速度的函數解析式為：

，

其中，定義域為；

（2）,；

令，于是

1當時，；

當且僅當時，取得最小值；

2當時，可知在上函數單調遞減，則當時，車隊經過隧道的時間的最小值為；

綜上， 若，則當車速為（米/秒）時，車隊通過隧道時間有最小值（秒）；若，則當車速為（米/秒）時，車隊通過隧道時間有最小值（秒）.