Question

某隧道長(zhǎng)6000米，最高限速為v₀（米/秒），一個(gè)勻速行進(jìn)的車(chē)隊(duì)有10輛車(chē)，每輛車(chē)的車(chē)身長(zhǎng)12米，相鄰兩車(chē)之間的距離與車(chē)速v（米/秒）的平方成正比，比例系數(shù)為k（k＞0），自第一輛車(chē)車(chē)頭進(jìn)入隧道至第10輛車(chē)車(chē)尾離開(kāi)隧道時(shí)所用時(shí)間為t（秒）．
（1）求函數(shù)t=f（v）的解析式，并寫(xiě)出定義域；
（2）求車(chē)隊(duì)通過(guò)隧道時(shí)間t的最小值，并求出此時(shí)車(chē)速v的大小．

Answer 1

（1）依題意得，車(chē)隊(duì)通過(guò)隧道的時(shí)間t關(guān)于車(chē)隊(duì)行進(jìn)速度v的函數(shù)解析式為：t=f(v)=

6000+120+9kv2

v

=

6120+9kv2

v

，其中，定義域?yàn)関∈（0，v₀]；
（2）t=f(v)=

6120+9kv2

v

=9kv+

6120

v

=9?(kv+

680

v

)，v∈（0，v₀]；
令kv=

680

v

?v=

680 k

，于是：
①當(dāng)v0≥

680 k

時(shí)，t=f(v)≥9?2

680k

=36

170k

；當(dāng)且僅當(dāng)v=

680 k

時(shí)，t取得最小值；
②當(dāng)v0＜

680 k

時(shí)，可知在（0，v₀]上函數(shù)t=f（v）單調(diào)遞減，則當(dāng)v=v₀時(shí)，車(chē)隊(duì)經(jīng)過(guò)隧道的時(shí)間t的最小值為tmin=f(v0)=

6120+9k v 20

v0

；
綜上，若v0≥

680 k

，則當(dāng)車(chē)速為v=

680 k

（米/秒）時(shí)，車(chē)隊(duì)通過(guò)隧道時(shí)間有最小值tmin=32

170k

（秒）；若v0＜

680 k

，則當(dāng)車(chē)速為v=v₀（米/秒）時(shí)，車(chē)隊(duì)通過(guò)隧道時(shí)間有最小值tmin=

6120+9k v 20

v0

（秒）．