Question

某隧道長6000米，最高限速為v（米/秒），一個勻速行進的車隊有10輛車，每輛車的車身長12米，相鄰兩車之間的距離與車速v（米/秒）的平方成正比，比例系數為k（k＞0），自第一輛車車頭進入隧道至第10輛車車尾離開隧道時所用時間為t（秒）．
（1）求函數t=f（v）的解析式，并寫出定義域；
（2）求車隊通過隧道時間t的最小值，并求出此時車速v的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據相鄰兩車之間的距離與車速v（米/秒）的平方成正比建立關系式，然后求出自第一輛車車頭進入隧道至第10輛車車尾離開隧道時所用時間t的解析式；
（2）先化簡解析式，然后討論v與的大小，當時利用基本不等式求出最小值，當時利用函數在（0，v]上的單調性求出函數的最小值，最后求出相應的速度．
解答：解：（1）依題意得，車隊通過隧道的時間t關于車隊行進速度v的函數解析式為：，其中，定義域為v∈（0，v]；
（2），v∈（0，v]；
令，于是：
①當時，；當且僅當時，t取得最小值；
②當時，可知在（0，v]上函數t=f（v）單調遞減，則當v=v時，車隊經過隧道的時間t的最小值為；
綜上，若，則當車速為（米/秒）時，車隊通過隧道時間有最小值（秒）；若，則當車速為v=v（米/秒）時，車隊通過隧道時間有最小值（秒）．
點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，同時考查了利用基本不等式和函數的單調性求函數的最值，屬于中檔題．