Question

如圖，已知拋物線M：x²=4py（p＞0）的準線為l，N為l上的一個動點，過點N作拋物線M的兩條切線，切點分別為A，B，再分別過A，B兩點作l的垂線，垂足分別為C，D．
（1）求證：直線AB必經過y軸上的一個定點Q，并寫出點Q的坐標；
（2）若△ACN，△BDN，△ANB的面積依次構成等差數列，求此時點N的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為拋物線的準線l的方程為y=-p，所以可設點N，A，B的坐標分別為（m，-p），（x₁，y₁），（x₂，y₂），由題設條件知x₁²-2mx₁-4p²=0，x₂²-2mx₂-4p²=0，所以x₁和x₂是關于x的方程x²-2mx-4p²=0兩個實數根，所以，由此可知直線AB必經過y軸上的一個定點Q（0，p），即拋物線的焦點．
（2）由（1）知x₁+x₂=2m，所以N為線段CD的中點，取線段AB的中點E，因為Q是拋物線的焦點，所以AQ=AC，BQ=BD，所以AC+BD=AB，
所以S_△ANB=S_△ANE+S_△BNE==，又因為，，所以，，成等差數列，即AQ，BQ，AB成等差數列，由此入手可求出點N的坐標．
解答：解：（1）因為拋物線的準線l的方程為y=-p，所以可設點N，A，B的坐標分別為（m，-p），（x₁，y₁），（x₂，y₂），則x₁²=4py₁，x₂²=4py₂，由x²=4py，得，求導數得，于是，即，
化簡得x₁²-2mx₁-4p²=0，
同理可得x₂²-2mx₂-4p²=0，
所以x₁和x₂是關于x的方程x²-2mx-4p²=0
兩個實數根，所以，且x₁x₂=-4p²．
在直線AB的方程中，
令x=0，
得═為定值，
所以直線AB必經過y軸上的一個定點Q（0，p），即拋物線的焦點．（5分）
（2）由（1）知x₁+x₂=2m，所以N為線段CD的中點，取線段AB的中點E，
因為Q是拋物線的焦點，所以AQ=AC，BQ=BD，所以AC+BD=AB，
所以S_△ANB=S_△ANE+S_△BNE==，
又因為，，
所以，，成等差數列，即AQ，BQ，AB成等差數列，
即0-x₁，x₂-0，x₂-x₁成等差數列，所以x₂-2x₁=2x₂，x₂=-2x₁，
所以，，時，，，時，，，所以所求點N的坐標為．

（10分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，數形結合效果很好．