Question

如圖，已知拋物線M：x²=4py（p＞0）的準(zhǔn)線為l，N為l上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，再分別過A，B兩點(diǎn)作l的垂線，垂足分別為C，D．
（1）求證：直線AB必經(jīng)過y軸上的一個定點(diǎn)Q，并寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）若△ACN，△BDN，△ANB的面積依次構(gòu)成等差數(shù)列，求此時點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為拋物線的準(zhǔn)線l的方程為y=-p，所以可設(shè)點(diǎn)N，A，B的坐標(biāo)分別為（m，-p），（x₁，y₁），（x₂，y₂），由題設(shè)條件知x₁²-2mx₁-4p²=0，x₂²-2mx₂-4p²=0，所以x₁和x₂是關(guān)于x的方程x²-2mx-4p²=0兩個實數(shù)根，所以，由此可知直線AB必經(jīng)過y軸上的一個定點(diǎn)Q（0，p），即拋物線的焦點(diǎn)．
（2）由（1）知x₁+x₂=2m，所以N為線段CD的中點(diǎn)，取線段AB的中點(diǎn)E，因為Q是拋物線的焦點(diǎn)，所以AQ=AC，BQ=BD，所以AC+BD=AB，
所以S_△ANB=S_△ANE+S_△BNE==，又因為，，所以，，成等差數(shù)列，即AQ，BQ，AB成等差數(shù)列，由此入手可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．
解答：解：（1）因為拋物線的準(zhǔn)線l的方程為y=-p，所以可設(shè)點(diǎn)N，A，B的坐標(biāo)分別為（m，-p），（x₁，y₁），（x₂，y₂），則x₁²=4py₁，x₂²=4py₂，由x²=4py，得，求導(dǎo)數(shù)得，于是，即，
化簡得x₁²-2mx₁-4p²=0，
同理可得x₂²-2mx₂-4p²=0，
所以x₁和x₂是關(guān)于x的方程x²-2mx-4p²=0
兩個實數(shù)根，所以，且x₁x₂=-4p²．
在直線AB的方程中，
令x=0，
得═為定值，
所以直線AB必經(jīng)過y軸上的一個定點(diǎn)Q（0，p），即拋物線的焦點(diǎn)．（5分）
（2）由（1）知x₁+x₂=2m，所以N為線段CD的中點(diǎn)，取線段AB的中點(diǎn)E，
因為Q是拋物線的焦點(diǎn)，所以AQ=AC，BQ=BD，所以AC+BD=AB，
所以S_△ANB=S_△ANE+S_△BNE==，
又因為，，
所以，，成等差數(shù)列，即AQ，BQ，AB成等差數(shù)列，
即0-x₁，x₂-0，x₂-x₁成等差數(shù)列，所以x₂-2x₁=2x₂，x₂=-2x₁，
所以，，時，，，時，，，所以所求點(diǎn)N的坐標(biāo)為．

（10分）
點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合效果很好．