Question

如圖，已知拋物線M：x²=4py（p＞0）的準線為l，N為l上的一個動點，過點N作拋物線M的兩條切線，切點分別為A，B，再分別過A，B兩點作l的垂線，垂足分別為C，D．
（1）求證：直線AB必經(jīng)過y軸上的一個定點Q，并寫出點Q的坐標；
（2）若△ACN，△BDN，△ANB的面積依次構(gòu)成等差數(shù)列，求此時點N的坐標．

Answer 1

分析：（1）因為拋物線的準線l的方程為y=-p，所以可設(shè)點N，A，B的坐標分別為（m，-p），（x₁，y₁），（x₂，y₂），由題設(shè)條件知x₁²-2mx₁-4p²=0，x₂²-2mx₂-4p²=0，所以x₁和x₂是關(guān)于x的方程x²-2mx-4p²=0兩個實數(shù)根，所以x1，2=m±

m2+4p2

，由此可知直線AB必經(jīng)過y軸上的一個定點Q（0，p），即拋物線的焦點．
（2）由（1）知x₁+x₂=2m，所以N為線段CD的中點，取線段AB的中點E，因為Q是拋物線的焦點，所以AQ=AC，BQ=BD，所以AC+BD=AB，
所以S_△ANB=S_△ANE+S_△BNE=

1

2

EN•CN+

1

2

EN•DN=

1

2

EN•(CN+DN)=EN•CN=

AC+BD

2

•CN=

AB•CN

2

，又因為S△ACN=

AC•CN

2

=

AQ•CN

2

，S△BDN=

BD•DN

2

=

BQ•CN

2

，所以

AQ•CN

2

，

BQ•CN

2

，

AB•CN

2

成等差數(shù)列，即AQ，BQ，AB成等差數(shù)列，由此入手可求出點N的坐標．

解答：解：（1）因為拋物線的準線l的方程為y=-p，所以可設(shè)點N，A，B的坐標分別為（m，-p），（x₁，y₁），（x₂，y₂），則x₁²=4py₁，x₂²=4py₂，由x²=4py，得y=

x2

4p

，求導(dǎo)數(shù)得y′=

x

2p

，于是

y1+p

x1-m

=

x1

2p

，即

x 2 1 4p +p

x1-m

=

x1

2p

，
化簡得x₁²-2mx₁-4p²=0，
同理可得x₂²-2mx₂-4p²=0，
所以x₁和x₂是關(guān)于x的方程x²-2mx-4p²=0
兩個實數(shù)根，所以x1，2=m±

m2+4p2

，且x₁x₂=-4p²．
在直線AB的方程y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)中，
令x=0，
得y=y1-

y2-y1

x2-x1

x1=

x2y1-x1y2

x2-x1

═

x1x2(x1-x2)

4p(x2-x1)

=-

x1x2

4p

=p為定值，
所以直線AB必經(jīng)過y軸上的一個定點Q（0，p），即拋物線的焦點．（5分）
（2）由（1）知x₁+x₂=2m，所以N為線段CD的中點，取線段AB的中點E，
因為Q是拋物線的焦點，所以AQ=AC，BQ=BD，所以AC+BD=AB，
所以S_△ANB=S_△ANE+S_△BNE=

1

2

EN•CN+

1

2

EN•DN=

1

2

EN•(CN+DN)=EN•CN=

AC+BD

2

•CN=

AB•CN

2

，
又因為S△ACN=

AC•CN

2

=

AQ•CN

2

，S△BDN=

BD•DN

2

=

BQ•CN

2

，
所以

AQ•CN

2

，

BQ•CN

2

，

AB•CN

2

成等差數(shù)列，即AQ，BQ，AB成等差數(shù)列，
即0-x₁，x₂-0，x₂-x₁成等差數(shù)列，所以x₂-2x₁=2x₂，x₂=-2x₁，
所以x1x2=-2

x

2 1

=(m+

m2+4p2

)(m-

m2+4p2

)=-4p2，x1=±

2

p，x1=

2

p時，x2=-2

2

p，m=

x1+x2

2

=-

2

2

p，x1=-

2

p時，x2=2

2

p，m=

x1+x2

2

=

2

2

p，所以所求點N的坐標為(±

2

2

p，  -p)．

（10分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合效果很好．