Question

已知函數f（x）在R上有定義，對任何實數a＞0和任何實數x，都有f（ax）=af（x）
（Ⅰ）證明f（0）=0；
（Ⅱ）證明其中k和h均為常數；
（Ⅲ）當（Ⅱ）中的k＞0時，設g（x）=+f（x）（x＞0），討論g（x）在（0，+∞）內的單調性并求極值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=0代入即可得到答案．
（2）分別令a=x和a=-x代入整理即可得到答案．
（3）先表示出函數g（x），然后對其進行求導，導數大于0時單調遞增，導數小于0時單調遞減，導數等于0時函數取到極值點．
解答：證明（Ⅰ）令x=0，則f（0）=af（0），
∵a＞0，
∴f（0）=0．

（Ⅱ）①令x=a，
∵a＞0，
∴x＞0，則f（x²）=xf（x）．
假設x≥0時，f（x）=kx（k∈R），則f（x²）=kx²，而xf（x）=x•kx=kx²，
∴f（x²）=xf（x），即f（x）=kx成立．
②令x=-a，
∵a＞0，
∴x＜0，f（-x²）=-xf（x）
假設x＜0時，f（x）=hx（h∈R），則f（-x²）=-hx²，而-xf（x）=-x•hx=-hx²，
∴f（-x²）=-xf（x），即f（x）=hx成立．
∴成立．

（Ⅲ）當x＞0時，，
令g'（x）=0，得x=1或x=-1；
當x∈（0，1）時，g'（x）＜0，∴g（x）是單調遞減函數；
當x∈[1，+∞）時，g'（x）＞0，∴g（x）是單調遞增函數；
所以當x=1時，函數g（x）在（0，+∞）內取得極小值，極小值為
點評：本題主要考查函數的導數有關問題，當導數大于0時函數單調遞增，當導數小于0時函數單調遞減，當導數等于0時函數取極值點．