Question

（2010•武漢模擬）已知拋物線y²=3px（p＞0），過點(diǎn)E（m，0）的直線交拋物線于點(diǎn)M、N，交y軸于點(diǎn)P，若

PM

=λ

ME

，

PN

=μ

NE

，則λ+μ（　　）

• A．1
• B．-

  1

  2

• C．-1
• D．-2

Answer 1

分析：本選擇題利用特殊化方法解決．取特殊的拋物線y²=4x，和點(diǎn)E（1，0）的直線的斜率為：1，交拋物線于點(diǎn)M、N，交y軸于點(diǎn)P（0，-1），先設(shè)M，N的坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂）由向量間的關(guān)系可得到x₁，x₂，y₁，y₂，再由直線MN的表達(dá)式，可用y來表示x，然后帶到拋物線表達(dá)式中，根據(jù)韋達(dá)定理，求出x₁，x₂的積、和，分別等于之前算出的x₁，x₂的積、和，從而得出λ+μ=-1．

解答：解：取特殊的拋物線y²=4x，和點(diǎn)E（1，0）的直線的斜率為：1，交拋物線于點(diǎn)M、N，交y軸于點(diǎn)P（0，-1），
分別設(shè)M，N的坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∵

PM

=λ

ME

，

PN

=μ

NE

，
∴

(x1-0 ，y1+1 )  =λ(1-x1，-y1) (x2-0 ，y2+1 )=μ(1-x2，-y2)

，
可得到x₁=

λ

1+λ

，x₂=

μ

1+μ

，y₁=-

1

1+λ

，y₂=

-1

1+μ

，
直線MN的方程為：y=x-1，代到拋物線表達(dá)式y(tǒng)²=4x中，
得：x²-6x+1=0，根據(jù)韋達(dá)定理x₁+x₂=6，x₁x₂=1
∴

λ

1+λ

+

μ

1+μ

=6，

λ

1+λ

•

μ

1+μ

=1，
⇒λ+μ=-1．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意向量和直線方程和合理運(yùn)用．