Question

已知函數f（x）=（x²-ax+1）e^x（a為常數，e為自然對數的底）
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若a=0，且經過點P（0，t）（t≠1）有且只有一條直線與曲線f（x）相切，求t的取值范圍

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=e^x（x+1）（x+1-a）分a=0，a＞0，a＜0三種情況討論導函數大于零小于零時x的解集即可得到函數的單調區間；
（Ⅱ）把a=0分別代入到函數和導函數中，因為f（0）=1則P不在曲線上，設出直線與曲線的切點坐標，則當x=m時導函數的值為切線的斜率，切線過P點，表示出切線方程，利用導數研究g（x）的單調性并得到g（x）的最值，利用直線y=t與曲線g（x）=e^x（-x³-x²-x+1）有且只有一個交點得到t的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ））f′（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax+1）e^x=e^x[x²+（2-a）+1-a
]=e^x（x+1）（x+1-a）
若a=0，則f′（x）=e^x（x+1）²≥0，f（x）為R上的單調遞增函數；
若a＞0，f′（x）＞0的解為x＜-1或x＞a-1，f′（x）＜0的解為-1＜x＜a-1，
此時f（x）在區間（-∞，-1），（a-1，+∞）單調遞增，在區間（-1，a-1）單調遞減；
若a＜0，f′（x）＞0的解為x＜a-1或x＞-1，
f′（x）＜0的解為a-1＜x＜-1，此時f（x）在區間（-∞，a-1）（-1，+∞）單調遞增，在區間（a-1，-1）單調遞減．
（Ⅱ）當a=0時，f（x）=（x²+1）e^x，f′（x）=e^x（x+1）²
因為f（0）=1，所以點P（0，t）不在曲線f（x）上，設過點P的直線與曲線f（x）相切與點A（m，n），
則切線方程為y=e^m（m+1）²x+t，
所以有n=e^m（m+1）²m+t及n=e^m（m²+1），得t=e^m（-m³-m²-m+1）令g（x）=e^x（-x³-x²-x+1），
則g′（x）=e^x（-x³-x²-x+1）+e^x（-3x²-2x-1）=-x（x+1）（x+3）e^x，
令g′（x）=0，得x₁=-3，x₂=-1，x₃=0，
可得g（x）在區間（-∞，-3），（-1，0）單調遞增，在區間（-3，-1）（0，+∞）單調遞減，
所以g（x）在x=-3時取極大值g（-3）=，在x=-1時取極小值g（-1）=，在x=0時取極大值g（0）=1，又＞1，所以g（-3）=是g（x）的最大值，
如圖，過點P（0，t）有且只有一條直線與曲線f（x）相切等價于直線y=t與曲線g（x）=e^x（-x³-x²-x+1）有且只有一個交點，又當x＜-3時，g（x）＞0，
所以t=或t≤0．
點評：考查學生利用導數研究函數的單調性的能力，以及利用導數研究曲線上某點切線方程的能力．會用數形結合的數學思想解決數學問題．