Question

若對所有實數x，均有sin^kx•sinkx+cos^kx•coskx=cos^k2x，則k=（　　）

• A、6
• B、5
• C、4
• D、3

Answer 1

分析：記f（x）=sin^kx•sinkx+cos^kx•coskx-cos^k2x，則由條件f（x）恒為0，取x=

π

2

，得k為奇數，設k=2n-1，上式成為sin(nπ-

π

2

)=-1，因此n為偶數，令n=2m，則k=4m-1．

解答：解：記f（x）=sin^kx•sinkx+cos^kx•coskx-cos^k2x，則由條件f（x）恒為0，取x=

π

2

，得sin

kπ

2

=(-1)k，
則k為奇數．  設k=2n-1，上式成為sin(nπ-

π

2

)=-1，因此n為偶數，
令n=2m，則k=4m-1，故選擇支中只有k=3滿足題意，
故選   D．

點評：本題考查函數的恒成立問題，體現了特殊值的思想，得到k為奇數，設k=2n-1，在得到n為偶數，這是解題的難點．