Question

設二次函數f（x）=ax²+bx+1（a、b∈R）
（1）若f（-1）=0，且對任意實數x均有f（x）≥0成立，求實數a、b的值；
（2）在（1）的條件下，當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調函數，求實數k的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，若f（x）≤m²-2am+2對所有x∈[-1，

2

-1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（-1）=0，可得a-b+1=0即b=a+1，又對任意實數x均有f（x）≥0成立，可得

a＞0 △=b2-4a≤0

恒成立，即（a-1）²≤0恒成立，從而可求出a，b的值；
（2）由（1）可知f（x）=x²+2x+1，可得g（x）=x²+（2-k）x+1，由g（x）在x∈[-2，2]時是單調函數，可得 [-2，2]?(-∞，

k-2

2

]或[-2，2]?[

k-2

2

，+∞)，從而得出 2≤

k-2

2

或

k-2

2

≤-2，解之即可得出k的取值范圍．
（3）f（x）≤m²-2am+2對所有x∈[-1，

2

-1]，a∈[-1，1]恒成立，等價于m²-2am≥0對所有a∈[-1，1]恒成立，從而構造函數g（a）=m²-2am，故可求實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0即b=a+1，
又對任意實數x均有f（x）≥0成立
∴

a＞0 △=b2-4a≤0

恒成立，即（a-1）²≤0恒成立
∴a=1，b=2；
（2）由（1）可知f（x）=x²+2x+1
∴g（x）=x²+（2-k）x+1
∵g（x）在x∈[-2，2]時是單調函數，
∴[-2，2]?(-∞，

k-2

2

]或[-2，2]?[

k-2

2

，+∞)
∴2≤

k-2

2

或

k-2

2

≤-2，
即實數k的取值范圍為（-∞，-2]∪[6，+∞）．
（3）f（x）≤m²-2am+2對所有x∈[-1，

2

-1]，a∈[-1，1]恒成立，
等價于m²-2am≥0對所有a∈[-1，1]恒成立，
構造函數g（a）=m²-2am，∴

m2-2m≥0 m2+2m≥0

，∴m≥2或m≤-2

點評：本題以二次函數為載體，考查了函數的恒成立問題及函數單調性的應用，難度一般，關鍵是掌握函數單調性的應用．