Question

（本題滿分16分，第（1）小題8分，第（2）小題8分）
己知雙曲線的中心在原點，右頂點為（1，0），點、Q在雙曲線的右支上，點（，0）到直線的距離為1．
（1）若直線的斜率為且有,求實數的取值范圍；
（2）當時，的內心恰好是點，求此雙曲線的方程．

Answer 1

(Ⅰ) 或；  (Ⅱ)  

設直線的方程為：，…………………2分
由點到直線的距離為可知：
得到，…………………5分
因為，所以，
所以 ，或
所以  或；…………………8分
（2）當時，，
由于點到直線的距離為，所以直線的斜率，……10分
因為點為的內心，故是雙曲線上關于軸對稱的兩點，所以軸，不妨設直線交軸于點，則，
所以點的坐標為，…………………12分
所以兩點的橫坐標均為，把代入直線的方程：，得，所以兩點的坐標分別為：，
設雙曲線方程為：，把點的坐標代入方程得到
，…………………15分
所以雙曲線方程為：…………………16分