Question

設0＜|

a

|≤2，函數f（x）=cos²x-|

a

|sinx-|

b

|的最大值為0，最小值為-4，且

a

與

b

的夾角為45°，求|

a

+

b

|．

Answer 1

考點：數量積表示兩個向量的夾角

專題：平面向量及應用

分析：由題意可得f（x）=-（sinx+

| a |

2

）²+

| a |2

4

+1-|

b

|，由二次函數區間的最值可得|

a

|=|

b

|=2，代入向量的模長公式計算可得．

解答： 解：f（x）=cos²x-|

a

|sinx-|

b

|
=-sin²x-|

a

|sinx+1-|

b

|
=-（sinx+

| a |

2

）²+

| a |2

4

+1-|

b

|，
∵0＜|

a

|≤2，∴-1≤-

| a |

2

＜0，
由二次函數可知當sinx=-

| a |

2

時，f（x）取最大值

| a |2

4

+1-|

b

|=0，
當sinx=1時，f（x）取最小值-|

a

|-|

b

|=-4，
聯立以上兩式可得|

a

|=|

b

|=2，
又∵

a

與

b

的夾角為45°，
∴|

a

+

b

|=

( a + b )2

=

22+2×2×2× 2 2 +22

=

8+4 2

點評：本題考查數量積與向量的夾角，涉及二次函數的最值和模長公式，屬基礎題．