Question

已知三棱錐S—ABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，若將此三棱錐沿側(cè)棱展成平面圖形恰好可以形成一個(gè)邊長為的正方形．

   （1）求證：頂點(diǎn)在底面ABC的射影是底面的垂心；         

   （2）求二面角S-AB-C的大小．

Answer 1

（1）證明略（2）二面角S-AB-C的大小為

解析:

（1）作,連AO、BO，

因?yàn)閭?cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，易證、、

．

所以，由三垂線定理的逆定理，AOBC，同理可證BOAC．

所以O(shè)為高線的交點(diǎn)，即為垂心． …………………6分

   （2）由于三棱錐的展開圖成邊長為正方形，則B、C分別和的中點(diǎn)，

即SB=SC=，所以SA=，AB=AC=，BC=．

在三棱錐S—ABC中，過S作SD垂直AB于D，連CD。因?yàn)?img width=102 height=22 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/168/2568.gif" >，

根據(jù)三垂線定理，CDAB，所以即為二面角求二面角S-AB-C的平面角． 

在三角形SAB中，，SC=，SA=，AC=，所以SD=

所以,

即二面角S-AB-C的大小為． …………………12分