Question

如圖，己知平行四邊形ABCD中，∠BAD=60°，AB=6，AD=3，G為CD中點，現將梯形ABCG沿著AG折起到AFEG．
（I）求證：平面ABFCE∥平面CGE；
（II）若平面AGEF⊥平面ABCD，求二面B-EF-A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）證明AF∥平面CGE，AB∥平面CGE，即可證明平面ABFCE∥平面CGE；
（II）FG⊥平面ABCD，BG⊥平面AGEF，作GH⊥EF交EF于H，連BH，則BH⊥EF，從而可知∠BHG為二面B-EF-A的平面角，即可求得二面角B-EF-A的平面角的余弦值．

解答：（I）證明：∵AB∥CG，GE∥AF，
∴AF∥平面CGE，AB∥平面CGE
∵AF∩AB=A
∴平面ABFCE∥平面CGE；
（II）解：∠BAD=60°，AB=6，AD=3，G為CD中點
∴BG⊥AG，∴FG⊥AG
∵平面AGEF⊥平面ABCD，FG?平面AGEF
∴FG⊥平面ABCD，
∵BG?平面ABCD
∴FG⊥BG
∵AG∩FG=G
∴BG⊥平面AGEF
作GH⊥EF交EF于H，連BH，則BH⊥EF
∴∠BHG為二面B-EF-A的平面角
∵BG=3，GH=

3 3

2

，∴tan∠BHG=

BG

GH

=

2 3

3

∴cos∠BHG=

21

7

∴二面角-EF-A的平面角的余弦值為

21

7

．

點評：本題考查面面平行，考查面面角，解題的關鍵是熟練掌握面面平行的判定，正確作出面面角．