Question

如圖，己知平行四邊形ABCD中，∠BAD=60°，AB=6，AD=3，G為CD中點，現將梯形ABCG沿著AG折起到AFEG．
（I）求證：直線CE∥直線BF；
（II）若直線GE與平面 ABCD所成角為

π

6

．
①求證：FG⊥平面ABCD：
②求二面B一EF一A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由AB∥CG，GE∥AF，知AF∥平面CGE，AB∥平面CGE，故平面ABF∥平面CGE，由此能夠證明直線CE∥直線BF．
（Ⅱ）①由∠BAD=60°，AB=6，AD=3，G為CD中點，知BG⊥AG，FG⊥AG，由直線GE與平面ABCD所成的角為

π

6

，而GE∥AF，由此能夠證明FG⊥平面ABCD．
②由FG⊥平面ABCD，知FG⊥BG，BG⊥平面AGEF，作GH⊥EF交EF于H，連接BH，得BH⊥EF，故∠BHG為B-EF-A的平面角，由此能求出二面B一EF一A的平面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：∵AB∥CG，GE∥AF，
∴AF∥平面CGE，AB∥平面CGE，
∴平面ABF∥平面CGE，
∵直線BC∩AG=K，
∴K∈直線EF，
∴EF與BC共面，
所以，直線CE∥直線BF．
（Ⅱ）解：①∵∠BAD=60°，AB=6，AD=3，G為CD中點，
∴BG⊥AG，∴FG⊥AG，
∵直線GE與平面ABCD所成的角為

π

6

，而GE∥AF，
∴直線AF與平面ABCD所成的角為

π

6

，
∴F到平面ABCD的距離為3，
所以FG⊥平面ABCD．
②∵FG⊥平面ABCD，
∴FG⊥BG，∴BG⊥平面AGEF，
作GH⊥EF交EF于H，連接BH，得BH⊥EF，
∴∠BHG為B-EF-A的平面角，
∵BG=3，GH=

3 3

2

，tan∠BHG=

BG

GH

=

2 3

3

，
∴cos∠BHG=

21

7

，
所以二面B一EF一A的平面角的余弦值為

21

7

．

點評：本題考查直線與直線平行的證明，直線與平面垂直的證明，求二面角的余弦值，是高考的重點．解題時要認真審題，合理地化空間問題為平面問題．