Question

如圖，己知平行四邊形ABCD中，∠BAD=60°，AB=6，AD=3，G為CD中點，現將梯形ABCG沿著AG折起到AFEG．
（1）求證：直線CE∥平面ABF；
（2）如果FG⊥平面ABCD求二面B-EF-A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要證直線CE∥平面ABF，只要證明CE所在的平面CEG平行于平面ABF即可，由已知條件利用面面平行的判定進行證明；
（2）利用已知條件結合余弦定理證明AG⊥BG，再由FG⊥平面ABCD，可以GA、GB、GF為坐標軸建立如圖空間直角坐標系，然后找到所用點的坐標，分別求出二面角的兩個半平面的一個法向量，利用平面法向量求二面角的平面角的余弦值．

解答：（1）證明：如圖，∵ABCD是平行四邊形，
∴CG∥AB，∴CG∥平面ABF，GE∥AF，
∴GE∥平面ABF，∵GE∩GC=G，∴平面CEG∥平面ABF．
∴CE∥平面ABF；
（2）解：∵∠BAD=60°，AB=6，AD=3，G為CD中點，∴BG=GC=BC=3，
由余弦定理AG²=AD²+GD²-2AD•GD•COS120°=27，
∴AG²+BG²=AB²，∴AG⊥BG
又FG⊥平面ABCD，
∴以GA、GB、GF為坐標軸建立如圖空間直角坐標系，則
A(3

3

，0，0)，B(0，3，0)，F(0，0，3)，C(-

3 3

2

，

3

2

，0)
∴平面AEF的法向量

n1

=

GB

=(0，3，0)，

BC

=(-

3 3

2

，-

3

2

，0)，

BF

=(0，-3，3)
設平面BFEC的法向量為

n2

=

n

=(x，y，z)，則

n • BC =0 n • BF =0

，∴

-3 3 x-3y=0 -3y+3z=0

令y=1，則x=-

3

3

，z=1，∴

n

=(-

3

3

，1，1)
∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

|=|

3

3× (- 3 3 )2+12+12

|=

21

7

即為所求．

點評：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了利用空間向量求二面角的大小，解答的關鍵是建立正確的空間右手系，是中檔題．