Question

試在無窮等比數列

1

2

，

1

4

，

1

8

，…中找出一個無窮等比的子數列（由原數列中部分項按原來次序排列的數列），使它所有項的和為

1

7

，則此子數列的通項公式為

an=

1

8n

．

Answer 1

分析：設出無窮等比數列子數列的首項和公比，根據n趨于無窮大時，所有項的和的極限等于

a1

1-q

（|q|＜1），根據已知的所有項的項的和得出首項與公比的關系式，由首項和公比都為

1

2

的次冪，通過代入得到首項與公比的值，進而表示出此子數列的通項公式．

解答：解：設無窮等比的子數列的首項為a₁，公比為q，
由所有項的和為

1

7

，得到

a1

1-q

=

1

7

，即q=1-7a₁，
∵a₁和q都為

1

2

的次冪，
∴通過代入得到a1=

1

8

，q=

1

8

，
則此子數列的通項公式為a_n=a₁q^n-1=

1

8n

．
故答案為：an=

1

8n

點評：此題考查了無窮項數列的和的極限等于

a1

1-q

（|q|＜1），等比數列的性質以及等比數列的通項公式，其中根據無窮數列的前n項的極限得出首項與公比的關系是解本題的關鍵．