Question

已知無窮數列{a_n}滿足a₁=2，數列{(

1

2

)an}是各項和等于

2b

2b+2-4

的無窮等比數列，其中常數b是正整數．
（1）求無窮等比數列{(

1

2

)an}的公比和數列{a_n}的通項公式；
（2）在無窮等比數列{b_n}中，b₁=a₁，b₂=a₂，試找出一個b的具體值，使得數列{b_n}的任意項都在數列{a_n}中；試找出一個b的具體值，使得數列{b_n}的項不都在數列{a_n}中，簡要說明理由；
（3）對于問題（2）繼續進行研究，探究當且僅當b取怎樣的值時，數列{b_n}的任意項都在數列{a_n}中，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用無窮等比數列的求和公式，可得方程，從而求出公比，進而可求數列的通項；
（2）先求出數列{b_n}的通項公式，再賦值驗證；
（3）當b取奇數時，b₃∉{a_n}；當b取偶數時，數列{b_n}的任意項都在數列{a_n}中，再作證明．

解答：解：（1）由

( 1 2 )a1

1-q

=

2b

2b+2-4

即

( 1 2 )2

1-q

=

2b

2b+2-4

得，q=(

1

2

)b--------------（2分）∴(

1

2

)an=(

1

2

)2×[(

1

2

)b]n-1∴a_n=2+（n-1）b，n∈N^*-----------------------------------------------（5分）
（2）∵a₁=2，∴a₂=2+b，又b₁=a₁，b₂=a₂∴bn=b1×(

b2

b1

)n-1=2×(

2+b

2

)n-1，n∈N^*-------------------（6分）
取b=2，則a_n=2n，n∈N^*，b_n=2ⁿ，n∈N^*∴數列{b_n}的任意項都在數列{a_n}中．------------------------（8分）
取b=1，則a_n=n+1，n∈N^*，bn=2×(

3

2

)n-1，n∈N^*∴b3=

9

2

，∴數列{b_n}的項不都在數列{a_n}中．---------（10分）
（3）當b取奇數時，b₃∉{a_n}；當b取偶數時，數列{b_n}的任意項都在數列{a_n}中．
證明：b_n=2×（k+1）^n-1=2（C_n-1⁰k^n-1+C_n-1¹k^n-2+…+C_n-1^n-2k+C_n-1^n-1）=2+2k[（C_n-1⁰k^n-2+C_n-1¹k^n-3+…+C_n-1^n-2+1）-1]
是數列{a_n}中的第C_n-1⁰k^n-2+C_n-1¹k^n-3+…+C_n-1^n-2+1項----------------（18分）

點評：本題主要考查無窮等比數列的求和公式，考查數列的通項公式，考查學生分析轉化問題的能力，有一定的技巧性．