Question

【題目】已知函數f（x）= ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a≥0）
（1）當a=0時，求f（x）的單調區間；
（2）求y=f（x）在區間（0，2]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

在區間（0，2）上，f'（x）＞0；在區間（2，+∞）上f'（x）＜0，

故f（x）的單調遞增區間是（0，2），單調遞減區間是（2，+∞）

（2）解： ， ，

①當a=0時，由（1）知f（x）在（0，2]上單調遞增，

故在（0，2]上f（x）max=f（2）=2ln2﹣2，

②當 時， ，在區間（0，2）上，f'（x）＞0；

故f（x）在（0，2]上單調遞增，

故在（0，2]上f（x）max=f（2）=2ln2﹣2a﹣2，

③當 時， ，在區間 上，f'（x）＞0；

在區間 上，f'（x）＜0，

f（x）在 上單調遞增，在 上單調遞減，

故在（0，2]上

【解析】（1）a=0時，求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，確定函數的單調區間，從而求出函數的最大值即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．