Question

（2012•天津）已知{a_n}是等差數列，其前n項和為S_n，{b_n}是等比數列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=27，s₄-b₄=10．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）記T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+…+a₁b_n，n∈N^*，證明：T_n+12=-2a_n+10b_n（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）直接設出首項和公差，根據條件求出首項和公差，即可求出通項．
（2）先寫出T_n的表達式；方法一：借助于錯位相減求和；
方法二：用數學歸納法證明其成立．

解答：解：（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q，
由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，s₄=8+6d，
由條件a₄+b₄=27，s₄-b₄=10，
得方程組

2+3d+2q3=27 8+6d-2q3=10

，解得

d=3 q=2

，
故a_n=3n-1，b_n=2ⁿ，n∈N^*．
（2）證明：方法一，由（1）得，T_n=2a_n+2²a_n-1+2³a_n-2+…+2ⁿa₁；   ①；
2T_n=2²a_n+2³a_n-1+…+2ⁿa₂+2ⁿ⁺¹a₁；     ②；
由②-①得，T_n=-2（3n-1）+3×2²+3×2³+…+3×2ⁿ+2ⁿ⁺²
=

12(1-2 n-1)

1-2

+2ⁿ⁺²-6n+2
=10×2ⁿ-6n-10；
而-2a_n+10b_n-12=-2（3n-1）+10×2ⁿ-12=10×2ⁿ-6n-10；
故T_n+12=-2a_n+10b_n（n∈N^*）．
方法二：數學歸納法，
③當n=1時，T₁+12=a₁b₁+12=16，-2a₁+10b₁=16，故等式成立，
④假設當n=k時等式成立，即T_k+12=-2a_k+10b_k，
則當n=k+1時有，
T_k+1=a_k+1b₁+a_kb₂+a_k-1b₃+…+a₁b_k+1
=a_k+1b₁+q（a_kb₁+a_k-1b₂+…+a₁b_k）
=a_k+1b₁+qT_k
=a_k+1b₁+q（-2a_k+10b_k-12）
=2a_k+1-4（a_k+1-3）+10b_k+1-24
=-2a_k+1+10b_k+1-12．
即T_k+1+12=-2a_k+1+10b_k+1，因此n=k+1時等式成立．
③④對任意的n∈N^*，T_n+12=-2a_n+10b_n成立．

點評：本題主要考察等差數列和等比數列的綜合問題．解決這類問題的關鍵在于熟練掌握基礎知識，基本方法．并考察計算能力．