Question

（2012•天津）已知函數f（x）=sin（2x+

π

3

）+sin（2x-

π

3

）+2cos²x-1，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）在區間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦函數的兩角和與差的公式與輔助角公式將f（x）=sin（2x+

π

3

）+sin（2x-

π

3

）+2cos²x-1化為f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），即可求得函數f（x）的最小正周期；
（2）可分析得到函數f（x）在區間[-

π

4

，

π

8

]上是增函數，在區間[

π

8

，

π

4

]上是減函數，從而可求得f（x）在區間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=sin2x•cos

π

3

+cos2x•sin

π

3

+sin2x•cos

π

3

-cos2x•sin

π

3

+cos2x
=sin2x+cos2x
=

2

sin（2x+

π

4

），
∴函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）∵函數f（x）在區間[-

π

4

，

π

8

]上是增函數，在區間[

π

8

，

π

4

]上是減函數，
又f（-

π

4

）=-1，f（

π

8

）=

2

，f（

π

4

）=1，
∴函數f（x）在區間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值為

2

，最小值為-1．

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，著重考查正弦函數的兩角和與差的公式與輔助角公式的應用，考查正弦函數的性質，求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）是關鍵，屬于中檔題．