【題目】已知橢圓
的離心率為
，直線
與
相切于點
.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線
與橢圓交于不同的兩點
，
，與直線
相交于
（，，，均不重合）.證明：
為定值.
【答案】（1）
；（2）詳見解析.
【解析】
(1)根據(jù)題意求出a，b，c，即可得到橢圓
的方程；（2）將直線
：
與橢圓方程聯(lián)立得
解得P點坐標，將直線：與直線
：
方程聯(lián)立解得點
的坐標，從而得到
進而得到
,從而得證.
（1）解：由題意
得
.
于是橢圓的方程可表示為
.
聯(lián)立
，得
.
因為直線：與相切，所以
，得
，
故橢圓的方程為.
（2）證明：將直線：與橢圓方程聯(lián)立得解得
即點
的坐標為
.
將直線：與直線：方程聯(lián)立得
解得
即點的坐標為
，
.
將直線：與橢圓方程聯(lián)立得
代入化簡得
，
，得
且
.
記
，
的坐標分別為
，
，
則
，
，
所以
.
同理，
，
故
，
故
，即
為定值.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x≥0時,f(x)=-x2+ax.
(1)若a=-2,求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)減函數(shù),
①求a的取值范圍;
②若對任意實數(shù)m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，
底面
，底面是直角梯形，
，
，
是
上的一點.
（1）求證：平面
平面
；
（2）若是的中點，
，且直線
與平面
所成角的正弦值為
，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】若函數(shù)
同時滿足：(1)對于定義域內(nèi)的任意
，有
；(2)對于定義域內(nèi)的任意
，當
時，有
，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”.給出下列四個函數(shù)：①
；②
；③
；④
.
其中是“理想函數(shù)”的序號是( )
A.①②B.②③C.②④D.③④
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知曲線
的參數(shù)方程為
（
， 
為參數(shù)）.以坐標原點
為極點， 
軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）當
時，求曲線
上的點到直線
的距離的最大值；
（2）若曲線
上的所有點都在直線
的下方，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某影院共有1000個座位，票價不分等次，根據(jù)該影院的經(jīng)營經(jīng)驗，當每張票價不超過10元時，票可全部售出，當每張票價高于10元時，每提高1元，將有30張票不能售出，為了獲得更好的收益，需給影院一個合適的票價，符合的基本條件是：
①為了方便找零和算賬，票價定為1元的整數(shù)倍；
②影院放映一場電影的成本費為5750元，票房收入必須高于成本支出.
（1）設定價為
（
）元，凈收入為
元，求關于的表達式；
（2）每張票價定為多少元時，放映一場的凈收入最多？此時放映一場的凈收入為多少元？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
為奇函數(shù)．
（1）求a的值，并證明
是R上的增函數(shù)；
（2）若關于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0的解集非空，求實數(shù)k的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知
是橢圓
（
）的左頂點，左焦點
是線段
的中點，拋物線
的準線恰好過點
．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖所示，過點
作斜率為
的直線
交橢圓于點
，交
軸于點
，若
為線段
的中點，過
作與直線
垂直的直線
，證明對于任意的
（
），直線
過定點，并求出此定點坐標．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】采用系統(tǒng)抽樣方法從
人中抽取
人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號為
，
，
，，分組后某組抽到的號碼為41．抽到的人中，編號落入?yún)^(qū)間
的人數(shù)為（ ）
A. 10 B. 
C. 12 D. 13
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