Question

已知動點P（x，y）（y≥0）到定點F（0，1）的距離和它到直線y=-1的距離相等，記點P的軌跡為曲線C。
（1）求曲線C的方程；
（2）設圓M過點A（0，2），且圓心M（a，b）在曲線C上，若圓M與x軸的交點分別為E（x₁，0）、
G（x₂，0），求線段EG的長度。

Answer 1

解：（1）依題意知，曲線C是以F（0，1）為焦點，y=-1為準線的拋物線，　
∵焦點到準線的距離p=2，　
∴曲線C的方程是。
（2）∵圓M的半徑為，
∴其方程為，
令y=0，得，
則，，　
∴，
又∵點M（a，b）在拋物線上，
∴，
∴，即，
∴線段EG的長度是4。