Question

設橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，過原點O斜率為1的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，橢圓右焦點F到直線l的距離為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設P是橢圓上異于M，N外的一點，當直線PM，PN的斜率存在且不為零時，記直線PM的斜率為k₁，直線PN的斜率為k₂，試探究k₁•k₂是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）設橢圓的焦距為2c（c＞0），F（c，0），直線l：x-y=0，F到l的距離為，解得c，進一步求得a，b的值，從而寫出橢圓C的方程；
（Ⅱ）由解得，或，表示出直線PM和PN的斜率，求的兩直線斜率乘積的表達式，把y和x的表達式代入發現結果與p無關．
解答：解：（I）設橢圓的焦距為2c（c＞0），F（c，0），直線l：x-y=0，F到l的距離為，解得c=2．又∵，∴，∴b=2．
∴橢圓C的方程為．（6分）
（Ⅱ）由解得，或，
不妨設，P（x，y），
∴，
由，即x²=8-2y²，代入化簡得為定值．（12分）
點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．