Question

設橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁=（-，0），橢圓過點P（-，）
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點D（l，0），直線l：y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點，以DA和DB為鄰邊的四邊形是菱形，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知c=，b²=a²-3，由+=1得2a⁴-11a²+12=0，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由得（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0．由△=64k²m²-16（4k²+1）（m²-1）=64k²-16m+16＞0，得4k²+1＞m²．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點為M（x，y），由韋達定理知x₁+x₂=-，x₁•x₂=，于是x=，y=k•+m=，M（，）．由此入手，能夠求出k的取值范圍．
解答：解：（1）由題意知c=，b²=a²-3，由+=1得2a⁴-11a²+12=0，
所以（a²-4）（2a²-3）=0，得a²=4或a²=＜c²（舍去），
因此橢圓C的方程為+y²=1．（4分）
（2）由得（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
所以4k²+1＞0，△═64k²m²-16（4k²+1）（m²-1）=64k²-16m+16＞0，
得4k²+1＞m²．①（6分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點為M（x，y），則x₁+x₂=-，x₁•x₂=，
于是x=，y=k•+m=，
∴M（，）．
設菱形一條對角線的方程為y=-（x-1），則有x=-ky+1．
將點M的坐標代入，得-=+1，所以m=-．②（9分）
將②代入①，得4k²+1＞，
所以9k²＞4k²+1，解得k∈（-∽，）∪（，+∞）．（12分）
點評：本題考查橢圓方程的求法和求k的取值范圍．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．本題主要考查運算能力，比較繁瑣，解題時要格外細心，避免出錯．