Question

設橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左焦點為F，上頂點為A，過點A與AF垂直的直線分別交橢圓C與x軸正半軸于點P、Q，且=．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過A、Q、F三點的圓恰好與直線l：x+y+3=0相切，求橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出Q點坐標，由F，A的坐標表示出，根據得出=0看，進而求得x，設P（x₁，y₁）根據求得x₁和y₁的表達式，把點P的坐標代入橢圓方程進而求得a和c的關系，則橢圓的離心率可得．
（2）根據（1）中a和c的關系可知F和Q的坐標，△AQF的外接圓圓心和半徑，進而根據求得a，進而根據a和b，c的關系求得b，則橢圓的方程可得．
解答：解：（1）設Q（x，0），由F（-c，0）A（0，b）知
∵，∴
設P（x₁，y₁），
得
因為點P在橢圓上，所以
整理得2b²=3ac，即2（a²-c²）=3ac，2e²+3e-2=0，故橢圓的離心率e=．

（2）由（1）知，
于是F（-a，0）Q，
△AQF的外接圓圓心為（a，0），半徑r=|FQ|=a
所以，解得a=2，
∴c=1，b=，
所求橢圓方程為
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的前提的是熟練掌握橢圓的基本性質．