Question

已知函數(shù)f（x）=-

2

3

x3+2ax2+3x．
（Ⅰ）當(dāng)a=

1

4

時(shí)，求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）令g（x）=ln（x+1）+3-f′（x），若g（x）在（-

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=

1

4

時(shí)，f（x）=-

2

3

x3+

1

2

x2+3x，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定函數(shù)的極值，進(jìn)一步可得函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最大值與最小值；
（Ⅱ）g（x）=ln（x+1）+3-f′（x）=ln（x+1）+2x²-4ax，求導(dǎo)函數(shù)，再考查h（x）=4x²+4（1-a）x+1-4a的對(duì)稱軸為x=-

4-4a

8

= 

a-1

2

，分類討論，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=

1

4

時(shí)，f（x）=-

2

3

x3+

1

2

x2+3x，f′（x）=-（2x-3）（x+1）
令f′（x）＞0，可得-1＜x＜

3

2

；令f′（x）＜0，可得x＜-1或x＞

3

2

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-1，

3

2

）；單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1），（

3

2

，+∞）
∴x=-1時(shí)，函數(shù)取得極小值為-

11

6

，x=

3

2

時(shí)，函數(shù)取得極大值為

27

8

∵f（-2）=

4

3

，f（2）=

8

3

∴函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最大值為

27

8

、最小值為-

11

6

；
（Ⅱ）g（x）=ln（x+1）+3-f′（x）=ln（x+1）+2x²-4ax，g′（x）=

4x2+4(1-a)x+1-4a

x+1

在（-

1

2

，+∞）上恒有x+1＞0
考查h（x）=4x²+4（1-a）x+1-4a的對(duì)稱軸為x=-

4-4a

8

= 

a-1

2

（9分）
（i）當(dāng)

a-1

2

≥-

1

2

，即a≥0時(shí)，應(yīng)有△=16（1-a）²-16（1-4a）≤0
解得：-2＜a≤0，所以a=0時(shí)成立（11分）
（ii）當(dāng)

a-1

2

＜-

1

2

，即a＜0時(shí)，應(yīng)有h（-

1

2

）＞0，即：1-4（1-a）×

1

2

+1-4a＞0，解得a＜0（13分）
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤0（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值，考查二次函數(shù)的單調(diào)性，綜合性強(qiáng)．