Question

【題目】已知函數.

（1）若，求的取值范圍；

（2）若存在唯一的極小值點，求的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）；證明見解析；

【解析】

（1）可利用分離參數法，將問題轉化為恒成立，然后研究的單調性，求出最大值；

（2）通過研究在內的變號零點，單調性情況確定唯一極小值點；若不能直接確定的零點范圍及單調性，可以通過研究的零點、符號來確定的單調性，和特殊點（主要是能確定符號的點）處的函數值符號，從而確定的極值點的存在性和唯一性．

(1)的定義域為.

由，得在恒成立，

轉化為

令，則，

∴在單調遞增，在單調遞減，

∴的最大值為，∴.

∴的取值范圍是.

(2)設，則，，.

①當時，恒成立，在單調遞增，

又，

所以存在唯一零點.

當時，，

當時，.

所以存在唯一的極小值點.

②當時，，在單調遞增，，

所以在有唯一零點.

當時，，

當時，.

所以存在唯一的極小值點.

③當時，令，得；

令，得，

∴在單調遞增，在單調遞減，

所以的最大值為

④當時，，，，

(或用)

由函數零點存在定理知：

在區間，分別有一個零點，

當時，；

當時，；

所以存在唯一的極小值點，極大值點.

⑤當時，，

所以在單調遞減，無極值點.

由①②④可知，a的取值范圍為，

當時，；

所以在單調遞減，單調遞增.

所以.

由，得.

所以

，

因為，，

所以，

所以，即；

所以.