Question

（1）已知a²+b²+c²=1，x²+y²+z²=9，ax+by+cz≤t，求t 的最小值．
（2）求直線（t為參數）被雙曲線x²-y²=1截得的弦長．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用題中條件構造柯西不等式（ax+by+cz）²≤（ a²+b²+c²）（ x²+y²+z²）這個條件進行計算即可．
（2）將直線的參數方程變形后代入x²-y²=1，得關于參數的一元二次方程，結合根與系數的關系及參數的幾何意義即可求出被雙曲線x²-y²=1截得的弦長．
解答：解：（1）柯西不等式得：u²=（ax+by+cz）²≤（ a²+b²+c²）（ x²+y²+z²）=1×9=9．u=ax+by+cz≤3，
故u=ax+by+cz的最大值為3，從而t的最小值為3  …（7分）
（2）（t′=2t為參數），
代入x²-y²=1，得：=1，
整理得：t'²-4t′-6=0，設其二根為 t₁'，t₂'，則 t₁'+t₂'=4，t₁'•t₂'=-6，從而弦長為
|AB|=|t₁'-t₂'|=…（7分）
點評：本小題主要考查柯西不等式在函數極值中的應用、直線的參數方程、直線與圓錐曲線的關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．