Question

已知a²+b²+c²=1，若a+b+

2

c≤|x+1|對任意實數a，b，c恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：由柯西不等式，我們易結合a²+b²+c²=1，得到(a+b+

2

c)2≤（1+1+2）（a²+b²+c²）=4，再由a+b+

2

c≤|x+1|對任意實數a，b，c恒成立，故|x+1|≥(a+b+

2

c)max=2，解絕對值不等式，即可得到答案．

解答：解：∵(a+b+

2

c)2≤（1+1+2）（a²+b²+c²）=4
∴a+b+

2

c ≤2（5分）
又∵a+b+

2

c≤|x+1|對任意實數a，b，c恒成立，
∴|x+1|≥(a+b+

2

c)max=2
解得x≤-3或x≥1（10分）

點評：該題考查柯西不等式、絕對值不等式求解；是容易題．