Question

已知a2+b2+c2=1，若a+b+

2

c≤|x+1|對任意實數a、b、c恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：由柯西不等式，我們易結合a²+b²+c²=1，得到 (a+b+

2

c)2≤（1+1+2）（a²+b²+c²）=4，再由 a+b+

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c≤|x+1|對任意實數a，b，c恒成立，故 |x+1|≥(a+b+

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c)max=2，解絕對值不等式，即可得到答案．

解答：解：∵(a+b+

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c)2≤（1+1+2）（a²+b²+c²）=4，
∴a+b+

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c ≤2（5分）
又∵a+b+

2

c≤|x+1|對任意實數a，b，c恒成立，
∴|x+1|≥(a+b+

2

c)max=2
解得x≤-3或x≥1（10分）

點評：該題考查柯西不等式、絕對值不等式求解；解答關鍵是根據題中條件構造出(a+b+

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c)2≤（1+1+2）（a²+b²+c²）后使用柯西不等式，是容易題．