Question

已知函數，且f（1）=2，
（1）求a、b的值；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調性并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意有，聯立方程可求a，b
（2）先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，然后檢驗f（-x）與f（x）的關系即可
（3）設x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂…，然后通過作差，變形比較f（x₁），f（x₂）的大小即可判斷函數的單調性
解答：解：（1）依題意有，…（2分）    
 得…（4分）
（2）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）關于原點對稱，…（5分）
∵
∴函數f（x）為奇函數．             …（7分）
（3）f（x）在（1，+∞）上是增函數，證明如下
設x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂…（8分）

∵x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0…（12分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）…（13分）
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數．    …（14分）
點評：本題主要考查了利益待定系數法求解函數的解析式，及函數的奇偶性、單調性的判斷，屬于函數基礎知識的綜合應用．