Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+x2+(2a-1)x+a2-a+1，若f′（x）=0在（1，3]上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)f′（x）=0在（1，3]上有解，即2a-1=-x²-2x=-（x+1）²+1在（1，3]上有解，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=-（x+1）²+1在（1，3]上的值域，進(jìn)而解不等式-15≤2a-1＜-3即可求得數(shù)a的取值范圍．

解答：解：f′（x）=x²+2x+（2a-1），
∵f′（x）=0在（1，3]上有解，
∴2a-1=-x²-2x=-（x+1）²+1在（1，3]上有解，
而y=-（x+1）²+1在（1，3]上的y＜-3，最小值為-15，
∴-15≤2a-1＜-3，解得-7≤a＜-1，
故答案為：-7≤a＜-1．

點(diǎn)評(píng)：此題是中檔題．考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力．