Question

已知直線l：kx-y-2-k=0（k∈R）．
（1）證明：直線過l定點；
（2）若直線不經過第二象限，求k的取值范圍；
（3）若直線l交x軸正半軸于A，交y軸負半軸于B，△AOB的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程．

Answer 1

考點：直線的一般式方程,恒過定點的直線

專題：直線與圓

分析：（1）直線l：kx-y-2-k=0（k∈R）化為k（x-1）-y-2=0，令

x-1=0 -y-2=0

，解得即可得出；
（2）由方程可知：k≠0時，直線在x軸與y軸上的截距分別為：

2+k

k

，-2-k．由于直線不經過第二象限，可得

2+k k ≥0 -2-k≤0

，解得k．當k=0時，直線變為y=-2滿足題意．
（3）由直線l的方程可得A(

2+k

k

，0)，B（0，-2-k）．由題意可得

2+k k ＞0 -2-k＜0

，解得k＞0．S=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

•|

2+k

k

|•|-2-k|=

1

2

•

(2+k)2

k

=

1

2

(k+

4

k

+4)，利用基本不等式的性質即可得出．

解答： （1）證明：直線l：kx-y-2-k=0（k∈R）化為k（x-1）-y-2=0，
令

x-1=0 -y-2=0

，解得x=1，y=-2，
∴直線l過定點P（1，-2）．
（2）解：由方程可知：k≠0時，直線在x軸與y軸上的截距分別為：

2+k

k

，-2-k．
∵直線不經過第二象限，
∴

2+k k ≥0 -2-k≤0

，解得k＞0．當k=0時，直線變為y=-2滿足題意．
綜上可得：k的取值范圍是[0，+∞）；
（3）解：由直線l的方程可得A(

2+k

k

，0)，B（0，-2-k）．
由題意可得

2+k k ＞0 -2-k＜0

，解得k＞0．
∴S=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

•|

2+k

k

|•|-2-k|=

1

2

•

(2+k)2

k

=

1

2

(k+

4

k

+4)≥

1

2

(2×2+4)=4．當且僅當k=2時取等號．
∴S的最小值為4，此時直線l的方程為2x-y-4=0．

點評：本題考查了直線系的應用、直線交點的性質、三角形面積計算公式、基本不等式的性質、直線的截距，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．