Question

大樓共有n層，現每層指派一人，共n個人集中到第k層開會 試問如何確定k，能使各位參加會議人員上、下樓梯所走路程總和最小？（假設相鄰兩層樓梯長都一樣）

Answer 1

分析：設相鄰兩層樓梯長為a，則問題轉化為下列和式S的最小值的探求：S=S（k）=a[1+2+3+???+（k-1）]+a[1+2+???+（n-k ）]，分類討論，即可得到結論．

解答：解：設相鄰兩層樓梯長為a，則問題轉化為下列和式S的最小值的探求：
S=S（k）=a[1+2+3+???+（k-1）]+a[1+2+???+（n-k ）]
=a[k²-（n+1）k+

1

2

（n²+n）]
目標函數S（k）為k的二次函數，且a＞0，
故當n為奇數時，取k=

n+1

2

，S最小；當n為偶數時，取k=

n

2

或 

n+2

2

，S最小．

點評：本題考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，正確建模是關鍵．