Question

大樓共有n層，現每層指派一人，共n個人集中到第k層開會 試問如何確定k，能使各位參加會議人員上、下樓梯所走路程總和最小？（假設相鄰兩層樓梯長都一樣）

 

Answer 1

【答案】

解：設相鄰兩層樓梯長為a ，

則問題轉化為下列和式S的最小值的探求：

S = S（k) = a [1 +2 +3 + ××× + (k─1)]  + a [1 +2 + ××× + （n – k )]

= a [ k ² – (n +1) k +  (n ² + n) ]

目標函數S（k)為 k的二次函數，且a > 0 ，

故當n為奇數時，取k = ，S最小；當為n偶數時，取k =   或 ，S最小

【解析】本試題主要是考查了等差數列的求和在實際生活中的運用，并且求解和式的最小值問題。設相鄰兩層樓梯長為a ，

則問題轉化為下列和式S的最小值的探求S = S（k) = a [1 +2 +3 + ××× + (k─1)]  + a [1 +2 + ××× + （n – k )]

利用二次函數的性質得到結論。