Question

在△ABC中，角A、B、C對邊分別是a、b、c，且滿足2bccosA=a²-（b+c）²．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=4

3

，△ABC的面積為4

3

；求b，c．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理列出關系式，代入已知等式中變形，求角A的大小；
（Ⅱ）利用三角形的面積公式列出關系式，將sinA以及已知面積代入求bc的值，再利用余弦定理列出關系式，利用完全平方公式變形，將a，bc及cosA的值代入求出b+c的值，聯立即可求出b與c的值．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
代入2bccosA=a²-（b+c）²，得：2bccosA=b²+c²-2bccosA-（b+c）²，
整理得：4bccosA=-2bc，
∴cosA=-

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

2π

3

；
（Ⅱ）∵a=4

3

，S=4

3

，
∴S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=4

3

，即bc=16①，
利用余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即48=b²+c²+16，
∴b²+c²=32，
∴（b+c）²=b²+c²+2bc=64，即b+c=8②，
聯立①②，解得：b=c=4．

點評：此題考查了余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．