Question

如圖，內外兩個橢圓的離心率相同，從外層橢圓頂點向內層橢圓引切線AC，BD，設內層橢圓方程為 ，若直線AC與BD的斜率之積為，則橢圓的離心率為（  ）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

C

解析試題分析：【方法一】由于內層橢圓和外層橢圓的離心率相等，不妨設外層橢圓的方程為，設切線的方程為，則，
消去得，
由，
化簡得，
同理可得，，
因此，所以，因此，
故橢圓的離心率為.故選C.
【方法二】橢圓在其上一點處的切點方程為，
設，，由于內外兩個橢圓的離心率相同，則可設外層橢圓的方程為，則，內層橢圓在點C處的切線方程為，而AC的方程為，其斜率為，同理直線BD的方程為，其斜率為，
∴  ①，
直線AC過點，則有，
直線BD過點，則有，∴，
∴，∴，設，，
不妨設點C為第一象限內的點，則點D為第二象限內的點，則為銳角，為鈍角，
則，∴，則為銳角，∴，
∴，∴，由①式得，
，∴，
∴，∴，∴，故選C.
考點：1.橢圓的標準方程；2.橢圓的離心率；3.直線與橢圓的位置關系.