Question

【題目】已知圓C: 的左、右焦點分別為F1、F2,離心率為,直線y=1與C的兩個交點間的距離為

(1)求圓C的方程;

(2)如圖,過F1、F2作兩條平行線l1、l2與C的上半部分分別交于A、B兩點,求四邊形ABF2F1面積的最大值

Answer 1

【答案】（1）.（2）3.

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用離心率為,直線y=1與C的兩個交點間的距離為，求出a，b，即可求橢圓C的方程；

（Ⅱ）直線與橢圓方程聯立，可得，利用基本不等式，求四邊形ABF2F1面積的最大值．

試題解析：（1）易知橢圓過點，所以， ①

又，② ，③

聯立①②③得，， 所以橢圓的方程為.

（2）設直線，它與的另一個交點為.設

與聯立，消去，得， .

此時：， .

又到的距離為， 所以.

令，則，所以當時，最大值為3.

又

所以四邊形面積的最大值為3。