Question

已知向量u=(x,y),v=(y,2y-x)的對應關系用v=?f(u)?表示．

（1）證明對于任意向量a、b及常數m、n恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立；

（2）設a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐標；

（3）求使f(c)=(p,q),(p、q∈R,且p、q為常數）的向量c的坐標．

Answer 1

（1）證明：設a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂),?則ma+nb=(mx₁+nx₂,my₁+ny₂),∴f(ma+nb)=(my₁+ny₂,2my₁+2ny₂-mx₁-nx₂). 而mf(a)+nf(b)=m(y₁,2y₁-x₁)+n(y₂,2y₂-x₂) =(my₁+ny₂,2my₁-mx₁+2ny₂-nx₂).?顯然有f(ma+nb)=nf(a)+nf(b). （2）解：∵a=(1,1),b=(1,0),?∴f(a)=(1,2-1)=(1,1),f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).(3)解：設c=(x,y),則f(c)=(y,2y-x)=(p,q).?∴ 解得?∴c=(2p-q,p).