Question

已知向量u=(x,y)與向量v=(y,2y-x)的對應關系用v=f(u)表示.

(1)證明對于任意向量a、b及常數m、n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立；

(2)設a=(1,1)，b=(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐標；

(3)求使f(c)=(p、q)(p、q為常數)的向量c的坐標.

Answer 1

解：(1)設a=(a₁,a₂),b=(b₁,b₂),則ma+nb=(ma₁+nb₁,ma₂+nb₂).

    ∴f(ma+nb)=(ma₂+nb₂,2ma₂+2nb₂-ma₁-nb₁),

    mf(a)+nf(b)=m(a₂,2a₂-a₁)+n(b₂,2b₂-b₁)=(ma₂+nb₂,2ma₂+2nb₂-ma₁-nb₁).

    ∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.

    (2)f(a)=(1,2×1-1)=(1,1),

    f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).

    (3)設c=(x,y),則f(c)=(y,2y-x)=(p,q).∴y=p,2y-x=q.

    ∴x=2p-q，即向量c=(2p-q,p).

講評：要利用題設條件，必須將向量用坐標表示，通過坐標進行計算，從而解決問題，這也是向量運算中比較常用的方法.