Question

9．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）與雙曲線C₂有共同的左右焦點F₁、F₂，兩曲線的離心率之積e₁•e₂=1，D是兩曲線在第一象限的交點，F₁D與y軸交于點E，則EF₂的長為$\frac{2{a}^{2}-{b}^{2}}{2a}$．（用a、b表示）．

Answer 1

分析 設橢圓與雙曲線：$\frac{{x}^{2}}{{A}^{2}}-\frac{{Y}^{2}}{{B}^{2}}=1$（A＞0，B＞0）的半焦距為c，PF₁=m，PF₂=n，利用橢圓、雙曲線的定義，結合e₁•e₂=1可得aA=c²，即DF₂垂直于x軸，EF₂=$\frac{1}{2}D{F}_{1}$．

解答 解：設雙曲線：$\frac{{x}^{2}}{{A}^{2}}-\frac{{Y}^{2}}{{B}^{2}}=1$（A＞0，B＞0），
橢圓與雙曲線的半焦距為c，PF₁=m，PF₂=n．∴m+n=2a，m-n=2A．
∵e₁e₂=1，∵$\frac{c}{a}•\frac{c}{A}=1$．⇒m²=n²+4c²⇒DF₂垂直于x軸
⇒D（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$）⇒DF₁=2a-$\frac{{b}^{2}}{a}$，∵E為DF₁的中點，∴EF₂=$\frac{1}{2}D{F}_{1}$=$\frac{2{a}^{2}-{b}^{2}}{2a}$．
故答案為：$\frac{2{a}^{2}-{b}^{2}}{2a}$．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的離心率問題，屬于中檔題．