Question

已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且恰好與直線相切，設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線

（1）求曲線C的方程，

（2）直線l與直線l，垂直且與曲線C交于B、D兩點(diǎn)，求△OBD面積的最大值．

 

Answer 1

（1） ;（2）

【解析】

試題分析：（1）此題考察軌跡方程，考察代入法的習(xí)題，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，可以求出圓的半徑，即知道圓的方程，設(shè)動(dòng)點(diǎn),,,利用公式 ，寫出向量相等的坐標(biāo)表示，利用,代入，得到關(guān)于的方程；

（2）利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立，和點(diǎn)到直線的距離公式，得出面積，并求出最大值.

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719224048823344/SYS201411171922550200908507_DA/SYS201411171922550200908507_DA.014.png">軸于，所以，

設(shè)圓的方程為，由題意得， 所以圓的程為.

由題意, ，所以，

所以即

將代入圓,得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

（2）由題意可設(shè)直線，設(shè)直線與橢圓交于，

聯(lián)立方程得，

，解得， ，

又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離， .（當(dāng)且僅當(dāng)即 時(shí)取到最大值） 面積的最大值為.

考點(diǎn)：1.代入法求軌跡方程;2.直線方程與圓錐曲線聯(lián)立；3.弦長公式.