Question

（2012•廣元三模）已知A、B、C三點均在橢圓M：

x2

a2

+y2=1（a＞1）上，直線AB、AC分別過橢圓的左右焦點F₁、F₂，當

AC

• 

F1F2

=0，有9

AF1

•

AF2

 =

AF1

2．
（I）求橢圓M的方程；
（II）設P是橢圓M上任意一點，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）由題意可得AF₂⊥F₁F₂． 設|AF₂|=m，則|AF₁|=2a-m，再由勾股定理可得am=1．利用兩個向量的夾角公式求出cos＜

AF1

 ， 

AF2

＞，再利用兩個向量的數量積的定義，結合
9

AF1

•

AF2

=

AF1

2 可得 m=

a

2

，故有 a²=2，由此求得橢圓M的方程．
（II）由上可得 F₁（-1，0），F₂（1，0），設P（x，y），化簡

PF1

•

PF2

=x²+y²-1，再由

x2

2

+y2=1 可得

PF1

•

PF2

=1-y²．由于-1≤y≤1，0≤y²≤1，
從而得到

PF1

•

PF2

=1-y²的最大值和最小值．

解答：解：（I）∵

AC

•

F1F2

=0，∴

AC

⊥

F1F2

，即 AF₂⊥F₁F₂．  設|AF₂|=m，則|AF₁|=2a-m．
再由勾股定理可得 （2a-m）²=m²+（2c）² 且 c²=a²-1，故 am=1．
又 cos＜

AF1

 ， 

AF2

＞=

|AF2|

|AF1|

=

m

2a-m

，∴|AF₂|=

m

2a-m

•|AF₁|．
再由 9 

AF1

•

AF2

=

AF1

2 可得，9•|AF₁|•（

m

2a-m

•|AF₁|）•

m

2a-m

=|

AF1

|2，即 (

3m

2a-m

)2=1，
解得 m=

a

2

，故有 a²=2，故橢圓M的方程為

x2

2

+y2=1．

（II）由上可得 F₁（-1，0），F₂（1，0），設P（x，y），

PF1

•

PF2

=（-1-x，-y）•（1-x，-y）=x²+y²-1．
再由P是橢圓M上任意一點，

x2

2

+y2=1 可得

PF1

•

PF2

=1-y²．
由題意可得-1≤y≤1，0≤y²≤1，故

PF1

•

PF2

=1-y²的最大值為1，最小值等于0．

點評：本題主要考查橢圓的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，兩個向量的數量積的定義，兩個向量的數量積公式的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．